ライフゲーム
ライフゲーム Conway’s Game of Life¶
ライフゲーム（Conway’s Game of Life）は，数学者ジョン・ホートン・コンウェイ（John Horton Conway）が考案した2次元セル・オートマトン． ルールは以下のとおり．
各セルは状態「生」と「死」をもつ
誕生，生存，死亡のプロセスを経て，「生」と「死」の状態を更新する
8近傍のセルの状態により次の状態がきまる
遷移ルールは誕生，維持，過疎，過密の4つ
近傍の生きたセルの数が3つなら必ず「生」，2つなら状態変化なし，それ以外なら「死」，となる．
この単純なルールから，移動・振動・増殖といった「生命」を想起させる多様な振る舞いが現れる．
ライフゲーム遷移ルール¶
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import plotly.graph_objects as go以下のような関数を定義してみよう．
def 遷移ルール(3x3の配列（注目するセルとその８近傍）):
近傍の「生（1）」のセルの数を計算する（np.sumを使ってみよう）
近傍の「生」のセルがちょうど２つならば:
次世代の（中心の）セルの状態は更新なし
（２ではなく）近傍の「生」のセルがちょうど3つならば:
次世代の（中心の）セルの状態は「生」
それ以外の場合（過疎，過密）:
次世代の（中心の）セルの状態は「死」
return 次世代の（中心の）セルの状態Solution to Exercise 1
# ライフゲーム遷移ルールの定義
def rule(cells):
"""Conway's Game of Lifeの遷移ルール
入力された3x3の配列に基づき次世代の状態を返す．
* 誕生：８近傍中ちょうど３つが1ならば次のステップで1
* 維持：８近傍中ちょうど2つが1ならば次のステップで更新なし（1ならば1，0ならば0）
* 過疎：８近傍中1が１つ以下ならば次のステップで0
* 過密：８近傍中1が４つ以上ならば次のステップで0
Args:
cells: 3x3の配列．中心（cells[1,1]）とその８近傍．
Returns:
new_cell: 次世代の中心セルの状態．
"""
num_neighbors = np.sum(cells) - cells[1, 1]
if num_neighbors == 2:
new_cell = np.copy(cells[1, 1])
elif num_neighbors == 3:
new_cell = 1
else:
new_cell = 0
return new_cellライフゲームの実行¶
作成方針を以下に示す．
# ライフゲームの実行
# 初期条件の設定
* 場のサイズを設定（縦，横にそれぞれ何個セルが配置されるか？）
* 何世代目まで計算するか？
* 場を記録するリストの準備
* 場の初期値の設定（例．ランダム，特定パタンの配置など）
for 世代:
# 状態遷移
次世代の場を記録する配列の用意
for i in 場のサイズ（縦）:
for j in 場のサイズ（横）:
# 境界条件等による分岐
# 全部で9通り（メイン+境界条件）
もしi==0ならば:
もしj==0ならば:
次世代の場[i,j] = 遷移ルール(場[[-1,0,1],:][:,[-1,0,1]])
（j==0でなく）もし0<j<場のサイズ（横）-1ならば:
次世代の場[i,j] = 遷移ルール(場[[-1,0,1],:][:,[j-1,j,j+1]])
（j<場のサイズ（横）-1でなく）もしj==場のサイズ（横）-1ならば:
…
（i==0でなく）もし0<i<場のサイズ（縦）-1ならば:
…
（i<場のサイズ（縦）-1でなく）もしi==場のサイズ（縦）-1ならば:
…
場の更新（次世代を現世代にコピー, np.copyを使ってみよう）
場の記録（リストへ追加）場の更新をおこなう関数を定義してみよう．
Solution to Exercise 2
def update(field):
"""ライフゲームの更新
`rule()`関数に従い，場の更新をおこなう．周期境界条件を仮定している．
Args:
field: 現在の場の配列
Returns:
new_field: 次世代の場の配列
"""
n_i, n_j = field.shape
new_field = np.zeros((n_i, n_j), dtype=field.dtype)
for i in range(n_i):
for j in range(n_j):
if i == 0:
if j == 0:
# 境界条件処理 i=0,j=0
new_field[i, j] = rule(field[[-1, 0, 1], :][:, [-1, 0, 1]])
elif 0 < j < n_j - 1:
# 境界条件処理 i=0,0<j<n_j-1
new_field[i, j] = rule(field[[-1, 0, 1], :][:, [j - 1, j, j + 1]])
elif j == n_j - 1:
# 境界条件処理 i=0,j=n_j-1
new_field[i, j] = rule(
field[[-1, 0, 1], :][:, [n_j - 2, n_j - 1, 0]]
)
elif 0 < i < n_i - 1:
if j == 0:
# 境界条件処理 1<i<n_i-1,j=0
new_field[i, j] = rule(field[[i - 1, i, i + 1], :][:, [-1, 0, 1]])
elif 0 < j < n_j - 1:
# メイン （1<i<n_i-1,1<j<n_j-1）
new_field[i, j] = rule(
field[[i - 1, i, i + 1], :][:, [j - 1, j, j + 1]]
)
elif j == n_j - 1:
# 境界条件処理 1<i<n_i-1,j=n_j-1
new_field[i, j] = rule(
field[[i - 1, i, i + 1],][:, [n_j - 2, n_j - 1, 0]]
)
elif i == n_i - 1:
if j == 0:
# 境界条件処理 i=n_i,j=0
new_field[i, j] = rule(field[[n_i - 2, n_i - 1, 0],][:, [-1, 0, 1]])
elif 0 < j < n_j - 1:
# 境界条件処理 i=n_i-1,1<j<n_j-1
new_field[i, j] = rule(
field[[n_i - 2, n_i - 1, 0],][:, [j - 1, j, j + 1]]
)
elif j == n_j - 1:
# 境界条件処理 i=n_i-1,j=n_j-1
new_field[i, j] = rule(
field[[n_i - 2, n_i - 1, 0],][:, [n_j - 2, n_j - 1, 0]]
)
return new_field定義したupdateを使ってシミュレーションをしてみよう．
以下では例としてグライダー銃のパターンを使ってシミュレーションする．
# グライダー銃
ptn_glidergun = np.array([
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1],
[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
], dtype=int)# ライフゲームの実行
n_i = 50
n_j = 50
steps = 150 # グライダー銃がグライダーを射出する様子が見えるよう長めにとる
field_list = []
field = np.zeros((n_i,n_j),dtype=int)
field[5:5+ptn_glidergun.shape[0],5:5+ptn_glidergun.shape[1]] = np.copy(ptn_glidergun)
field_list.append(field)
for t in range(1,steps+1):
if t%10 == 0:
print("Steps: ", t)
# -- 状態遷移 --
field_tmp = update(field)
# 情報の更新
field = np.copy(field_tmp)
field_list.append(field)Steps: 10
Steps: 20
Steps: 30
Steps: 40
Steps: 50
Steps: 60
Steps: 70
Steps: 80
Steps: 90
Steps: 100
Steps: 110
Steps: 120
Steps: 130
Steps: 140
Steps: 150
ライフゲームでの境界条件¶
2次元の境界条件では端の処理が複雑になる．
周期境界条件を採用すると，上端と下端，左端と右端がそれぞれ繋がり，トーラス（ドーナツ型）の構造を考えていることに相当する．
固定端境界条件では，格子の外側のセルをすべて「死」（状態 0）で固定する．
周期境界条件を採用する場合，各セルの位置に応じて近傍の取り方を場合分けする必要がある． 2次元格子では，4つの角，4つの辺，内部の計9通りに分岐する．
可視化¶
# 可視化（最終状態）
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.matshow(field_list[-1], fignum=1, cmap="binary")
可視化（アニメーション）¶
時間発展は Plotly のアニメーションで可視化する（再生ボタンとスライダーが付く）．
各世代の場 field_list をフレームとして並べる．Play／Fast／Slow で再生速度を切り替えられる．詳しくは Plotly を参照．
# 可視化（アニメーション）
frames = [
go.Frame(
data=[
go.Heatmap(
z=field_list[k], colorscale="Greys", zmin=0, zmax=1, showscale=False
)
],
name=str(k),
)
for k in range(len(field_list))
]
fig = go.Figure(
data=[
go.Heatmap(
z=field_list[0], colorscale="Greys", zmin=0, zmax=1, showscale=False
)
],
frames=frames,
)
def play_button(label, duration):
"""1フレームを duration ミリ秒で表示して再生するボタン（小さいほど速い）"""
return {
"label": label,
"method": "animate",
"args": [
None,
{
"frame": {"duration": duration, "redraw": True},
"fromcurrent": True,
"transition": {"duration": 0},
},
],
}
fig.update_layout(
width=600,
height=660,
margin={"l": 20, "r": 20, "t": 70, "b": 20},
yaxis={"scaleanchor": "x", "autorange": "reversed"},
updatemenus=[
{
"type": "buttons",
"direction": "right",
"showactive": False,
"x": 0.5,
"xanchor": "center",
"y": 1.08,
"yanchor": "bottom",
"buttons": [
play_button("Play", 120),
play_button("Fast", 40),
play_button("Slow", 300),
{
"label": "Pause",
"method": "animate",
"args": [[None], {"frame": {"duration": 0}, "mode": "immediate"}],
},
],
}
],
sliders=[
{
"steps": [
{"label": str(k), "method": "animate", "args": [[str(k)]]}
for k in range(len(frames))
]
}
],
)
fig.show()Loading...
ライフゲームのパターンの例¶
LifeWikiにて，多数のパターンを見つけることができる．
また，パターンをテキストしてコピーしたり，ファイルとしてダウンロードできる．
以下にはいくつかの例を示す．
グライダー¶
# グライダー
ptn_glider = np.array([[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]], dtype=int)回転花火¶
# 回転花火
ptn_pinwheel = np.array(
[
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0],
[1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
[1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1],
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1],
[0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
],
dtype=int,
)グライダー銃¶
# グライダー銃
ptn_glidergun = np.array([
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1],
[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
], dtype=int)パン屋¶
# パン屋
ptn_baker = np.array([
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
], dtype=int)