03 アイソクラインと局所安定性解析

相図上のアイソクライン (isocline)とヤコビ行列 (Jacobian matrix)の固有値 (eigenvalue)を使い，平衡点まわりのダイナミクスを解析する．

アイソクライン¶

アイソクラインは $\frac{dx}{dt} = 0$ または $\frac{dy}{dt} = 0$ を満たす曲線（または直線）．平衡点 (equilibrium point)はアイソクライン同士の交点として求まる．

被食-捕食系では，

\frac{dx}{dt} = 0 \to y = \frac{a}{b}, \qquad \frac{dy}{dt} = 0 \to x = \frac{d}{c}

(1)

の水平・垂直の直線となり，平衡点は $(0, 0)$ と $\left(\frac{d}{c}, \frac{a}{b}\right)$ ．

局所安定性解析の流れ¶

平衡点 $\mathbf{x}^*$ まわりの微小なずれ $\mathbf{n}$ を考えると，テイラー展開の 1 次項までで

\frac{d\mathbf{n}}{dt} \approx \mathbf{M}\,\mathbf{n}, \qquad \mathbf{M} = \left.\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}^*}

(2)

となる． $\mathbf{M}$ の固有値 $\lambda_i$ の実部の符号で安定性を判定する．

全固有値の実部が負	局所安定性 (local stability) あり（安定平衡点）
1 つでも正の実部	不安定平衡点
正負混在で実部が非零	鞍点 (saddle point)

具体的な手順は次の 4 ステップ．

平衡点を求める
ヤコビ行列で線形化する
ヤコビ行列の固有値（と固有ベクトル）を求める
実部の正負，虚部の有無を調べる

被食-捕食系の $(0, 0)$ では，

\mathbf{J}(0, 0) = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -d \end{pmatrix}, \qquad \lambda_1 = a > 0,\; \lambda_2 = -d < 0

(3)

したがって $(0, 0)$ は鞍点．

被食-捕食系のダイナミクスとアイソクライン¶

被食-捕食系のシミュレーション結果に，アイソクラインと平衡点を重ねて描く．

# 03-01. 被食-捕食系のダイナミクスとアイソクライン
import matplotlib.pyplot as plt

# モデルのパラメータ
a = 2.0
b = 3.0
c = 1.0
d = 2.0

# 初期値
x = 0.4
y = 0.4
t = 0.0

# 時間の設定
dt = 0.0001
t_end = 10
i_end = int(t_end / dt) + 1

t_list = [t]
x_list = [x]
y_list = [y]
for i in range(i_end):
    t = dt * (i + 1)
    x = x + dt * (a - b * y) * x
    y = y + dt * (c * x - d) * y
    t_list.append(t)
    x_list.append(x)
    y_list.append(y)

# アイソクライン
plt.axhline(a / b, color="b")
plt.axvline(d / c, color="r")

# 平衡点
plt.plot(0, 0, "ko", d / c, a / b, "ko", markersize=8)

# 相平面上でのダイナミクス
plt.plot(x_list, y_list)
plt.xlabel("Prey")
plt.ylabel("Predator")

03 アイソクラインと局所安定性解析

アイソクライン¶

局所安定性解析の流れ¶

被食-捕食系のダイナミクスとアイソクライン¶

演習¶