演習で使う数学的ツール - 数理生物学演習

この演習で必要となる数学的なツールを整理します．

変数分離で微分方程式を解く¶

変数分離法は，常微分方程式の最も基本的な解法の一つです．

$\frac{dN}{dt} = f(N) \cdot g(t)$

の形に書ける微分方程式に対して， $N$ を含む項と $t$ を含む項をそれぞれ左辺・右辺に分離し，両辺を積分します．

\frac{dN}{dt} = rN

変数分離すると，

\frac{1}{N} dN = r \, dt

両辺を積分して，

\int \frac{1}{N} dN = \int r \, dt

\ln N = rt + C

N(t) = N_0 e^{rt}

ここで $N_0 = e^C$ は初期条件 $N(0) = N_0$ から決まります．

\frac{dN}{dt} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)

変数分離すると，

\frac{1}{N(1 - N/K)} dN = r \, dt

左辺を部分分数分解して積分すると，解析解

N(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K - N_0}{N_0}\right) e^{-rt}}

が得られます．

多変数の連立微分方程式系

\frac{dx_1}{dt} = f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n), \quad \frac{dx_2}{dt} = f_2(x_1, x_2, \ldots, x_n), \quad \ldots

に対して，ヤコビ行列は各関数の各変数に関する偏微分を並べた行列です：

J = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}

\frac{dN}{dt} = aN - bNP, \quad \frac{dP}{dt} = cNP - dP

ヤコビ行列は，

J = \begin{pmatrix} a - bP & -bN \\ cP & cN - d \end{pmatrix}

平衡点 $(N^*, P^*)$ でこのヤコビ行列を評価し，その固有値から平衡点の安定性を判定します．

正方行列 $A$ に対して，

A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

を満たすスカラー $\lambda$ を固有値，ベクトル $\mathbf{v}$ を固有ベクトルと呼びます．

固有値は特性方程式

\det(A - \lambda I) = 0

を解くことで求められます．

平衡点におけるヤコビ行列の固有値 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots$ から，平衡点の安定性がわかります：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

特性方程式は $(1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = 0$ ，すなわち $\lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0$ です．

NumPyでは np.linalg.eigvals(A) で計算できます（P2-01で扱います）．