01 離散指数増殖モデル - 数理生物学演習

世代の区切られた生物の個体数変動を差分方程式 (difference equation)で記述する．本章では離散指数増殖モデル (discrete exponential growth model)を実装し，結果を見やすく可視化するためのプロット作法を学ぶ．

モデルの定義¶

世代 $t$ における個体数を $X_t$ ，1世代あたりの増殖率を $a$ とすると，

X_{t+1} = X_t + a X_t

(1)

$a > 0$ なら個体数は増加， $a = 0$ なら一定， $a < 0$ なら減少する．

実装¶

a，x，t をそれぞれ増殖率，個体数，世代とし，初期値から100世代分の時間発展を計算する．

# 01-01. 離散指数増殖モデル
import matplotlib.pyplot as plt

a = 0.1
x = 1
t = 0

t_list = [t]
x_list = [x]
for i in range(100):
    t = t + 1
    x = x + a * x

    t_list.append(t)
    x_list.append(x)

plt.plot(t_list, x_list)

プロットを整える¶

研究で図を示すときには，色・線種・軸ラベル・解像度などの調整が欠かせない．以降では，前節で得た時系列データを使ってこれらの基本作法を確認する．

書式指定文字列で色と線種を変える¶

plt.plot の第3引数に 書式指定文字列（color + marker/line style）を渡すと，線とマーカーの見た目を一括で指定できる．

# 01-02. フォーマットの変更１
plt.plot(t_list, x_list, "ro")

# 01-03. フォーマットの変更２
plt.plot(t_list, x_list, "k--")

複数の系列を重ねる¶

plt.plot に (x, y) の組を複数渡すと，1つの図に複数系列を重ねて描ける．

同じデータを別のフォーマットでプロットしてみよう．

# 01-04. 複数のデータのプロット１
plt.plot(t_list, x_list, "-", t_list, x_list, "r.")

増殖率 $a$ を3通りに変えて時間発展を計算し，比較する．

# 01-05. 複数のデータのプロット２
x_lists = []

for a in [0.1, 0.11, 0.12]:
    x = 1
    t = 0
    t_list = [t]
    x_list = [x]

    for i in range(100):
        t = t + 1
        x = x + a * x

        t_list.append(t)
        x_list.append(x)

    x_lists.append(x_list)

plt.plot(t_list, x_lists[0], t_list, x_lists[1], t_list, x_lists[2])

タイトルと軸ラベル¶

plt.title，plt.xlabel，plt.ylabel で図の意味を明示する．fontsize で文字の大きさも調整できる．

# 01-06. タイトル・軸ラベル１
plt.plot(t_list, x_list)
plt.title("Exponential growth")
plt.xlabel("Time (t)")
plt.ylabel("Pop. size (x)")

# 01-07. タイトル・軸ラベル２
plt.plot(t_list, x_list)
plt.title("Exponential growth", fontsize="xx-large")
plt.xlabel("Time (t)", fontsize="x-large")
plt.ylabel("Pop. size (x)", fontsize="x-large")

解像度と図サイズ¶

plt.figure(dpi=...) で解像度，figsize=[幅, 高さ]（インチ）で図のサイズを指定する．

# 01-08. 解像度の変更
plt.figure(dpi=200)
plt.plot(t_list, x_list)

# 01-09. プロットサイズの変更
plt.figure(figsize=[5, 7])
plt.plot(t_list, x_list)

線とマーカーを重ねる¶

線とマーカーを同じ系列に重ねると，計算点と曲線形状の両方が読み取りやすくなる．

# 01-10. 離散指数増殖モデル２

a = 0.1
x = 1
t = 0

t_list = [t]
x_list = [x]
for i in range(100):
    t = t + 1
    x = x + a * x

    t_list.append(t)
    x_list.append(x)

plt.figure(dpi=200)
plt.plot(t_list, x_list, "-", t_list, x_list, "r.")
plt.title("Exponential growth", fontsize="xx-large")
plt.xlabel("Time (t)", fontsize="x-large")
plt.ylabel("Pop. size (x)", fontsize="x-large")

演習¶

Solution to Exercise 1

plt.figure(dpi=150)
for a in [-0.1, 0.0, 0.05, 0.1, 0.2]:
    x = 1
    t = 0
    t_list = [t]
    x_list = [x]
    for i in range(50):
        t = t + 1
        x = x + a * x
        t_list.append(t)
        x_list.append(x)
    plt.plot(t_list, x_list, label=f"a = {a}")

plt.title("Discrete exponential growth")
plt.xlabel("Time (t)")
plt.ylabel("Pop. size (x)")
plt.legend()