04-03 Colabのテキストセルに関する補足：Markdown，LaTeX記法

import math

import math

# 見出し

## 小見出し
`#`を重ねることで見出し，小見出しを作成できる．行頭で使う．

### （番号なし）リスト
`*`, `-`, `+`でリストを表現できる．

* 要素１
* 要素2
* 要素3

### 番号ありリスト
`数字.`で番号ありリストを作れる．番号は自動で振られる．

1. 要素１
1. 要素２
1. 要素３

### リンク
`[表示](URL)`でリンクを表現できる．

[演習用Webページ](https://koji.noshita.net/page/compbio/)

### コードとコードブロック
すでに利用しているが，
バッククォートで囲むとコードを表現する．
またバッククォートを3つ重ねて複数行を囲むとコードブロックが表現できる．
特定の言語のコードブロックの場合は最初の３連バッククォートのあとに言語名を記述する（対応している言語の場合はシンタックスハイライトが利用できる）．

`code`

```
import math
```

```python
import math
```

# $\LaTeX$を使った数式の表示（１）
## インライン数式とディスプレイ数式
インライン数式は文章中に数式を埋め込む．例えば，$f(x) = a x$な感じ．
ディスプレイ数式は式を新しい行にして（デフォルトでは中央揃えで）表示する：
$$ f(x) = a x $$
という感じ．

## 基本的な演算子
和 $+$ (`+`）や差 $-$（`-`）の記号はそのまま．
ドット積 $\cdot$ （`\cdot`），クロス積 $\times$ (`\times`)はこのあたりを使うと良い．

## 分数
`\frac{分子}{分母}`

$$
x = \frac{分子}{分母}
$$

インラインだと，高さが調整される．こんな $x = \frac{分子}{分母}$ 感じ．

## 添字
上付き添字 `^` ，下付き添字 `_`で文字・数字が複数の場合は`{}`で囲む必要がある．

$$
x(t) = x_0 e^{a t}
$$

## フォントの装飾
いろいろな種類があるが，数式での利用は以下のものがおすすめ．
デフォルトでは数式中のアルファベットはイタリックで，数字は立体で表示される．

* 太字：`\mathbf{A}` $\mathbf{A}$
* イタリック： `\mathit{1}` $\mathit{1}$
* 立体：`\mathrm{x}` $\mathrm{x}$

通常の表示と比べてみよう．

# $\LaTeX$を使った数式の表示（２）
## ギリシャ文字
`\名前`になっている．大文字は最初のアルファベットが大文字．

$\alpha, \beta, \gamma, \cdots$や$\Delta, \Phi$など．

## 改行
`\\`のようにバックスラッシュを２つ重ねる．
$$
f(x) = x^2 \\
g(x) = x^2 + 2 x + 1
$$

## ドット，三点リーダ
ドット積でも使ったが，`\cdot`で中黒を表示できる．
また三点リーダが各方向に対して使える．
* 水平 `\cdots` $\cdots$
* 垂直 `\vdots` $\vdots$
* 斜め `\ddots` $\ddots$

また，水平方向の三点リーダの底面バージョン$\ldots$は`\ldots`で表現できる．

## イタリックにしない関数
名前のついている関数など慣例でイタリックにはしないものは，予めコマンドが用意されていたりする．
例えば，三角関数
$$
f(\theta) = \sin(\theta) \\
g(\theta) = \cos(\theta) \\
h(\theta) = \tan(\theta) \\
$$
，　指数関数
$$
x(t) = x_0 \exp(a t)
$$
など．

## 数式を（等号などで）揃える
揃えたい位置に`&`を配置する（例．`&=`）．
`align`環境で使える．数式をきれいに揃えたいときに試してみよう．

$$
\begin{align}
\bar{X} + n_{t+1} &= f\left(\bar{X}+n_t\right)\\
&= f\left(\bar{X}\right) + \frac{df}{dX}n_t + \frac{1}{2}\frac{d^2f}{dX^2}n_t^2+ \cdots
\end{align}
$$

# $\LaTeX$を使った数式の表示（３）
## 括弧の大きさを自動で調整する
単純に`()`で囲んだだけだと，縦方向が不揃いになることがある．

$$
\frac{dx}{dt} = r (1-\frac{x}{K})x
$$

`\left( ... \right)`とすることで，高さが自動で調整される．他の種類の括弧（`[]`, `||`, `\{\}`）にも使える．

$$
\frac{dx}{dt} = r \left(1-\frac{x}{K}\right)x
$$


## ベクトル・行列
いくつか種類があるがここでは`pmatrix`を使う方法を紹介する．

\LaTeX では`\begin{名前} ... \end{名前}`で，様々な装飾や効果を指定できる．
ベクトルや行列を表示したいときは`\begin{pmatrix} ... \end{pmatrix}`で囲む．
また，各行や列の整列は`&`，`\\`を使う．

### ベクトルの例
$$
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix}
$$

### 行列の例
$$
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
$$